如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：△AFM≌△DFC；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Question

如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：△AFM≌△DFC；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥DE，AD=DE，点F是AE的中点，
∴∠AFM=∠DFC=90°，AF=DF，∠DEA=∠DAE=45°．
∵∠ABC=∠AFM=90°，
∴∠AMF+∠MAC=90°，∠DCF+∠MAC=90°，
∴∠AMF=∠DCF．
在△AFM和△DFC中，

∠AFM=∠DFC

∠AMF=∠DCF

AF=DF

∴△AFM≌△DFC；

（2）AD⊥MC．
理由如下：
由（1）知，△AFM≌△DFC，
∴FM=FC．
∴△FMC是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°．
∵∠FED=45°，
∴∠FED=∠FCM，
∴DE∥MC．
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．