若对任意长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K，则K的取值范围是（）A.（0，1]B.（0，12]C.[1，+∞）D.[12，+∞）

Question

若对任意长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K，则K的取值范围是（　　）
A. （0，1]
B. （0，(1)/(2)]
C. [1，+∞）
D. [(1)/(2)，+∞）

Answer 1

如图所示的两个长方体A与B：
设A、B两个长方体的长、宽、高分别为：1、x、y，1、a、b．
则S_A侧=2（x+y），V_A=xy；S_B侧=2（a+b），V_B=ab．
由题意B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K，
∴(a+b)/(x+y)＝k，(ab)/(xy)＝k．
由a+b=k（x+y）≥2√(ab)=2√(kxy)，
∴k²（x+y）²≥4kxy，∴k≥(4xy)/((x+y)2)恒成立．
而(4xy)/((x+y)2)≤(4xy)/(4xy)＝1，故k≥1．
故选C．