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若对任意长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K,则K的取值范围是()A.(0,1]B.(0,12]C.[1,+∞)D.[12,+∞)
题目详情
若对任意长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K,则K的取值范围是( )
A. (0,1]
B. (0,
]
C. [1,+∞)
D. [
,+∞)
A. (0,1]
B. (0,
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C. [1,+∞)
D. [
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▼优质解答
答案和解析
如图所示的两个长方体A与B:
设A、B两个长方体的长、宽、高分别为:1、x、y,1、a、b.
则SA侧=2(x+y),VA=xy;SB侧=2(a+b),VB=ab.
由题意B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K,
∴
=k,
=k.
由a+b=k(x+y)≥2
=2
,
∴k2(x+y)2≥4kxy,∴k≥
恒成立.
而
≤
=1,故k≥1.
故选C.

设A、B两个长方体的长、宽、高分别为:1、x、y,1、a、b.
则SA侧=2(x+y),VA=xy;SB侧=2(a+b),VB=ab.
由题意B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K,
∴
| a+b |
| x+y |
| ab |
| xy |
由a+b=k(x+y)≥2
| ab |
| kxy |
∴k2(x+y)2≥4kxy,∴k≥
| 4xy |
| (x+y)2 |
而
| 4xy |
| (x+y)2 |
| 4xy |
| 4xy |
故选C.
看了若对任意长方体A,都存在一个与...的网友还看了以下:
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