在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．(1)若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小．

Question

在三棱锥SABC中，底面是边长为2 的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．

(1)若D为侧棱SB上一点，当 为何值时，CD⊥AB；
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小．

Answer 1

（1） （2）

以O点为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知∠SBO＝45°，SO＝3.O(0，0，0)，C(0， ，0)，A(0，－ ，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．
(1)设 ＝λ (0≤λ≤1)，则 ＝(1＋λ) ＋λ ＝(3(1＋λ)，0，3λ)，
所以 ＝(3(1－λ)，－ ，3λ)．
因为 ＝(3， ，0)，CD⊥AB，所以 · ＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝ .
故 时，CD⊥AB.
(2)平面ACB的法向量为 n ₁ ＝(0，0，1)，设平面SBC的法向量 n ₂ ＝(x，y，z)，则 n ₂ · ＝0， n ₂ · ＝0，则 解得 取 n ₂ ＝(1， ，1)，
所以cos〈 n ₁ ， n ₂ 〉＝ ＝ .
又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为 .