（2014•绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件

Question

（2014•绍兴）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer 1

（1）设矩形的边长PN=2y（mm），则PQ=y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴(PN)/(BC)=(AE)/(AD)，
即(2y)/(120)=(80−y)/(80)，
解得y=(240)/(7)，
∴PN=(240)/(7)×2=(480)/(7)（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为(240)/(7)mm，(480)/(7)mm；

（2）设PN=x（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴(PN)/(BC)=(AE)/(AD)，
即(x)/(120)=(80−PQ)/(80)，
解得PQ=80-(2)/(3)x．
∴S=PN•PQ=x（80-(2)/(3)x）=-(2)/(3)x²+80x=-(2)/(3)（x-60）²+2400，
∴S的最大值为2400mm²，此时PN=60mm，PQ=80-(2)/(3)×60=40（mm）．