课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）加工成的正方形零件的边长是多

Question

课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer 1

（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴(PN)/(BC)=(AE)/(AD)，即(x)/(120)=(80-x)/(80)，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；

（2）如图2，设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴(PN)/(BC)=(AE)/(AD)，即(2x)/(120)=(80-x)/(80)，
解得：x=(240)/(7)，
∴2x=(480)/(7)，
∴这个矩形零件的两条边长分别为(240)/(7)mm，(480)/(7)mm；

（3）如图3，设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm²），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴(PN)/(BC)=(AE)/(AD)，
即(x)/(120)=(80-PQ)/(80)，
解得：PQ=80-(2)/(3)x．
则S=PN•PQ=x（80-(2)/(3)x）=-(2)/(3)x²+80x=-(2)/(3)（x-60）²+2400，
故S的最大值为2400mm²，此时PN=60mm，PQ=80-(2)/(3)×60=40（mm）．