求x10-3除以(x-1)2所得的余式.如果能带上一点余式定理的有关资料,我会再+分的~

Question

求x10-3除以(x-1)2所得的余式.
如果能带上一点余式定理的有关资料,我会再+分的~

Answer 1

x^10-3=Q(x)*(x-1)^2+ax+b
令y=x-1,x=y+1
(y+1)^10-3=Q(y+1)*y^2+a(y+1)+b
上面等式恒成立
a=10,a+b=1-3=-2,b=-12
a=10,b=-12
(2)
ax+b=28
10x-12=28,
x=4
4^10-3
=(3+1)^10-3
=C(10,0)3^10+C(10,1)3^9+...+C(10,6)3^4+C(10,7)3^3+C(10,8)3^2+C(10,9)3+C(10,10)-3
前面各项能被81整除,只要看:
C(10,7)3^3+C(10,8)3^2+C(10,9)3+C(10,10)-3
=(8*9*10)/(1*2*3)*3^3+(9*10)/(1*2)*3^2+10*3-2
=4*3*10*3^3+9*5*3^2+28
显然除以81的余数是28
所以x^10-3除以81所得的余数为28