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如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率为()A.B.C.D.
题目详情
如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当
时,其离心率为
,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )

A.
B.
C.
D.



A.

B.

C.

D.

▼优质解答
答案和解析
类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,当
时,|BF|2+|AB|2=|AF|2,由此可知b2+c2+c2=a2+c2+2ac,整理得c2=a2+ac,即e2-e-1=0,解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e.
【解析】
类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,|OA|=a,|OB|=b,|OF|=c,
当
时,|BF|2+|AB|2=|AF|2,
∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac,
∵b2=c2-a2,整理得c2=a2+ac,
∴e2-e-1=0,解得
,或
(舍去).
故黄金双曲线的离心率
.
故选A.

【解析】
类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,|OA|=a,|OB|=b,|OF|=c,
当

∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac,
∵b2=c2-a2,整理得c2=a2+ac,
∴e2-e-1=0,解得


故黄金双曲线的离心率

故选A.
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