如图所示：已知椭圆方程为y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．（1）求椭圆离心率；（2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的

Question

如图所示：已知椭圆方程为(y2)/(a2)+(x2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．
（1）求椭圆离心率；
（2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的弦长为(3)/(2)√(2)，试求弦所在直线的方程．

Answer 1

（1）由题意，∵△ABF为直角三角形，∴2|OF|=|AB|，则
∵A，B是椭圆与短轴的两个交点，F是椭圆的焦点，
∴c=b，∴c²=a²-c²，
∴a²=2c²，
∴e＝(c)/(a)＝(√(2))/(2)
（2）由题意，F（0，1），b=1，c=1，∴a²=2，
∴椭圆方程为(y2)/(2)+x2＝1
设过F的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消元可得（k²+2）x²+2kx-1=0
设交点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=−(2k)/(k2+2)，x₁x₂=−(1)/(k2+2)
∴过F的直线与椭圆相交的弦长为√(1+k2)|x1−x2|=√(1+k2)×√((x1+x2)2−4x1x2)=√(1+k2)×√((−(2k)/(k2+2))2−4×(−(1)/(k2+2)))=(2√(2)(k2+1))/(k2+2)
∵过F的直线与椭圆相交的弦长为(3)/(2)√(2)，
∴(2√(2)(k2+1))/(k2+2)＝(3)/(2)√(2)
∴k=±√(2)
∴弦所在直线的方程为y＝±√(2)x+1