已知点A(1，1)是椭圆(a>b>0)上一点，，是椭圆的两焦点，且满足．(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；(3)设点C、D是椭圆上

Question

已知点A(1，1)是椭圆(a>b>0)上一点，，是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的两焦点坐标；
(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
(3)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．____

Answer 1

【分析】(I)先由椭圆定义知：2a=4，再把(1，1)代入得即可求得椭圆方程，从而求得两焦点坐标；
(II)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(-1，-1)，再取椭圆上一点M(-2，0)，从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．
(III)设AC方程为：y=k(x-1)+1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合点A(1，1)在椭圆上C，D两点的坐标，从而求得直线CD的斜率为定值．

(I)由椭圆定义知：2a=4，
∴a=2，
∴
把(1，1)代入得
∴，则椭圆方程为，
∴，
∴
故两焦点坐标为(4分)
(II)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(-1，-1)，
此时取椭圆上一点M(-2，0)，则
∴|AM|>|AB|．
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．(8分)
(III)设AC方程为：y=k(x-1)+1
联立
消去y得(1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0
∵点A(1，1)在椭圆上，
∴(10分)
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y=-k(x-1)+1
同理(11分)
又y_c=k(x_C-1)+1，y_D=-k(x_D-1)+1，y_C-y_D=k(x_C+x_D)-2k
所以
即直线CD的斜率为定值(13分)

【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的简单性质、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于中档题．