如图所示，在椭圆(a>b>0)中，A为椭圆左顶点，B为椭圆上顶点，F为椭圆右焦点．(I)若ΔABF为等腰三角形，且BF=2，求椭圆方程；(II)若ΔABF为钝角三角形，求椭圆离心率的取值范围．

Question

如图所示，在椭圆(a>b>0)中，A为椭圆左顶点，B为椭圆上顶点，F为椭圆右焦点．
(I)若ΔABF为等腰三角形，且BF=2，求椭圆方程；
(II)若ΔABF为钝角三角形，求椭圆离心率的取值范围．
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Answer 1

【分析】(I)先由题意可知，因为ΔABF为等腰三角形，得到从而解得最后根据a，b，c 的关系求得a，b的值，写出椭圆方程；(
(II)由题意可知，∠ABF为钝角，由余弦定理可知，转化为：e²+e-1>0，解之即可得到椭圆离心率取值范围．

(I)由题意可知，
因为ΔABF为等腰三角形，
所以AB=AF，即．
两边平方，得a²+b²=(a+c)²，
整理得a²-2ac-2c²=0
因为a=BF=2，解得，，
所以椭圆方程为．
(II)若ΔABF为钝角三角形，由题意可知，∠ABF为钝角，
由余弦定理可知，，
整理得，a²-ac-c²<0，即e²+e-1>0，
解得或，
又因为0<e<1，
所以椭圆离心率取值范围是．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是通过挖掘题设信息找到a和c的关系．