阅读不等式5x≥4x+1的解法：解：由5x≥4x+1，两边同除以5x可得1≥(45)x+(15)x．由于0＜15＜45＜1，显然函数f（x）=（45）x+（15）x在R上为单调减函数，而f(1)＝45+15＝1，故当x＞1时，有f（x）=（45）x

Question

阅读不等式5^x≥4^x+1的解法：
解：由5^x≥4^x+1，两边同除以5^x可得1≥((4)/(5))x+((1)/(5))x．
由于0＜(1)/(5)＜(4)/(5)＜1，显然函数f（x）=（(4)/(5)）^x+（(1)/(5)）^x在R上为单调减函数，
而f(1)＝(4)/(5)+(1)/(5)＝1，故当x＞1时，有f（x）=（(4)/(5)）^x+（(1)/(5)）^x＜f（x）=1
所以不等式的解集为{x|x≥1}．
利用解此不等式的方法解决以下问题：
（1）解不等式：9^x＞5^x+4^x；
（2）证明：方程5^x+12^x=13^x有唯一解，并求出该解．

Answer 1

（1）由9^x＞5^x+4^x，两边同除以9^x可得1≥((5)/(9))x+((4)/(9))x．
∵0＜(4)/(9)＜(5)/(9)＜1，∴函数f(x)＝((5)/(9))x+((4)/(9))x在R上为单调减函数，
∵f(1)＝(4)/(9)+(5)/(9)＝1，
∴当x＞1时，f（x）=((5)/(9))x+((4)/(9))x＜f（1）=1，
因此，原不等式的解集为{x|x＞1}．
（2）方程有唯一解x=2，证明如下：
将方程两边同除以13^x，可得（(5)/(13)）^x+（(12)/(13)）^x=1，
∵0＜(5)/(13)＜(12)/(13)＜1，可得函数g（x）=（(5)/(13)）^x+（(12)/(13)）^x在R上为单调减函数，
∵g(2)＝((5)/(13))2+((12)/(13))2＝1，
∴当x＞2时，g（x）=（(5)/(13)）^x+（(12)/(13)）^x＜g（2），即（(5)/(13)）^x+（(12)/(13)）^x＜1；
且当x＜2时，g（x）=（(5)/(13)）^x+（(12)/(13)）^x＞g（2），（(5)/(13)）^x+（(12)/(13)）^x＞1．
由此可得，有且仅有x=2能使等式成立，即x=2为方程5^x+12^x=13^x的唯一解．