函数f(x)在(a,+∞）上可导,且x趋近正无穷时,f(x)趋近于0,则必有x趋近正无穷时,f'(x)趋近于0,证明是错只需要举一个反例，反例应该是f'(x)不存在吧，否则就成立了

Question

函数f(x)在(a,+∞）上可导,且x趋近正无穷时,f(x)趋近于0,则必有x趋近正无穷时,f'(x)趋近于0,证明是错
只需要举一个反例，反例应该是f'(x)不存在吧，否则就成立了

Answer 1

如需要构造一个f'(x)不在的函数
令a=0,f(x)定义如下
f(x)=sin(2nπx) / n x∈(n-1,n]
其中n=1,2,3.
当这个函数是趋于0的,这是因为,
在第个区间(n-1,n]的最大最小值分别为
-1/n,1/n.
而这个函数是可导的
f'(x)= 2πcos(2nπx) x∈(n-1,n]
(在x=n处,可以用左右导数来验证可导)
f'(x)在无穷处极限不会为0
因为f'(n) = 2π 是一个常数列
所以存在一个子列不为趋于0.
所以f'(x)极限不为0.