设向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，下列命题正确的是（）A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤sB．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞sC．若向量组Ⅱ线性无关，则

Question

设向量组I=α₁，α₂，…，α_r，可由向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性表出，下列命题正确的是（　　）

A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s
B．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s
C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D．若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s

Answer 1

A：反设r＞s．因为向量组I=α₁，α₂，…，α_r，可由向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性表出，所以向量组α₁，α₂，…，α_r的秩＜s＜r，所以向量组I=α₁，α₂，…，α_r线性相关，矛盾！故r≤s，故A成立．
B：如果向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性相关，取α_i=β_i，i=1，…，s，则向量组I线性相关，且r=s，故B不正确．
C：因为向量组II详细相关，故存在β_k为非零向量，取α_i=iβ_k，i=1，…，s+1，则向量组I线性相关，但r=s+1＞s，故C不正确．
D：取α₁=((1)/(2)，−(1)/(2))，β₁=（1，-1）^T，β₂=（-1，1）^T，则 α₁=(1)/(2)β1+0β2，故向量组I可由向量组II线性表出，但r＜s，故D不正确．
故选：A．