已知n条直线l1：x-y+C1=0，C1=2，l2：x-y+C2=0，l3：x-y+C3=0，…，ln：x-y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．（1）求Cn；（2）求x-y+C

Question

已知n条直线l₁：x-y+C₁=0，C₁=√(2)，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x-y+C_n-1=0与x-y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积．

Answer 1

（1）原点O到l₁的距离为1，原点O到l₂的距离为1+2，原点O到l_n的距离d_n为1+2++n=(n(n+1))/(2)．
∵C_n=√(2)d_n，
∴C_n=(√(2)n(n+1))/(2)．
（2）设直线l_n：x-y+C_n=0交x轴于M，交y轴于N，则△OMN面积
S_△OMN=(1)/(2)|OM|•|ON|=(1)/(2)C_n²=(n2(n+1)2)/(4)．
（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S_n=(n2(n+1)2)/(4)，则有S_n-1=((n−1)2•n2)/(4)．
∴S_n-S_n-1=(n2(n+1)2)/(4)-((n−1)2•n2)/(4)=n³．
∴所求面积为n³．