已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数

Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实
数m的取值范围．

Answer 1

（1）、设y=ln（e^x+a），a＞0，则e^y=e^x+a，∴e^x=e^y-a，a＞0，∴x=ln（e^y-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；f′（x）=(ex)/(ex+a)．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．
设ϕ（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于ϕ（x）＜m＜ψ（x）．
由ϕ′(x)＝(ex)/(ex−a)−(ex)/(ex+a)+1，ψ′(x)＝(ex)/(ex−a)+(ex)/(ex+a)−1，注意到0＜e^x-a＜e^x＜e^x+a，故有ϕ'（x）＞0，ψ'（x）＞0，从而可ϕ（x）与ϕ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增，因此不等式ϕ（x）＜m＜ψ（x）成立当且仅当ϕ（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即ln((12)/(5)a)＜m＜ln((8)/(3)a).