为什么lnx的导数是1/x网上证明：△y＝f(x+△x)－f(x)＝ln(x+△x)－lnx＝ln(1＋△x/x),当△x→0时,等价于△x/x,所以(lnx)'＝lim(△x→0)△y/△x＝lim(△x→0)ln(1＋△x/x)/△x＝lim(△x→0)(△x/x)/△x＝1/x那为

Question

为什么lnx的导数是1/x
网上证明：△y＝f(x+△x)－f(x)＝ln(x+△x)－lnx＝ln(1＋△x/x),当△x→0时,等价于△x/x,所以(lnx)'＝lim(△x→0) △y/△x＝lim(△x→0) ln(1＋△x/x)/△x＝lim(△x→0) (△x/x)/△x＝1/x
那为什么ln(1＋△x/x),当△x→0时,等价于△x/x?

Answer 1

这是利用x→0时, ln(1+x)等价于x
证明： 令ln(1+x)=t,则x→0时,t→0,且 x=e^t -1
而x = e^t-1 等价于 t = ln(1+x)
所以 ln(1+x)等价于x
原题中把x换成 △x/x 就可以了