x→0时lim[1/ln(1+x^2)-1/(sinx)^2]=lim[(sinx)^2-ln(1+x^2)]/(sinx)^2*ln(1+x^2)=lim[(sinx)^2-ln(1+x^2)]/x^4(∵(sinx)^2～x^2,ln(1+x^2)～x^2)=lim{sin2x-[2x/(1+x^2)]}/4(x^3)(上下求导）=lim(sin2x-2x)/4(x^3)(∵x→0时,1+x^2→1）=lim(2cos2x-2

Question

x→0时
lim[1/ln(1+x^2)-1/(sinx)^2]
=lim[(sinx)^2-ln(1+x^2)]/(sinx)^2*ln(1+x^2)
=lim[(sinx)^2-ln(1+x^2)]/x^4 (∵(sinx)^2～x^2,ln(1+x^2)～x^2)
=lim{sin2x-[2x/(1+x^2)]}/4(x^3) (上下求导）
=lim(sin2x-2x)/4(x^3) (∵x→0时,1+x^2→1）
=lim(2cos2x-2)/12(x^2)
=lim2[1/2*(2x)^2]/12(x^2) (∵x→0时,1-cosx→1/2*x^2)
=1/3
可是做出来是错的,答案等于1/6,
=lim{sin2x-[2x/(1+x^2)]}/4(x^3)
这一步中,是分子（即sin2x-[2x/(1+x^2)])通分后再将1+x^2→1代入
请问为什么我先将1+x^2→1代入就不可以呢?

Answer 1

这样做是不对的
我也举个例子
x→0时,lim(sinx-xcosx)/x^3=1/3
照你那样想的话
x→0时,sinx～x
lim(sinx-xcosx)/x^3=lim(x-xcosx)/x^3
=lim(1-cosx)/x^2=[1/2*sin(x/2)^2]/x^2=1/8
错在这里面只能改变乘除,不能改变加减
整体乘以一个无穷小,再除以一个等价无穷小,不能用改变局部
上题中,你将1+x^2提到分母中去（与4(x^3)相乘 ）就可以这样做了
可以检验一下