已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．（1）用m、p

Question

已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且O C=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

Answer 1

（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
x ² -mx-2x=p ² -pm-2p，
∴（x-p）（x+p）-x（m+2）+p（m+2）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x ₁ =p，x ₂ =m+2-p，
∵m+2≥2p＞0
∴m+2-p≥p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．

（2）∵OC=OB，S _△AOB = (1)/(2) OA•OB，
∴S _△AOB = (1)/(2) OA•OB= (1)/(2) P•（m+2-p），
=- (1)/(2) P ² + (1)/(2) （m+2）•P，
∴当p=- ((1)/(2)(m+2))/(2×(-(1)/(2))) =(1)/(2) （m+2）时，S _△AOB 最大．