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(2011•湖州)如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标(用含m
题目详情
(2011•湖州)如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)

▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得CM=BM,
∵∠PMC=∠DMB,
∴Rt△PMC≌Rt△DMB,
∴DB=PC,
∴DB=2-m,AD=4-m,
∴点D的坐标为(2,4-m).
(2)分三种情况
①若AP=AD,则4+m2=(4-m)2,解得m=
;
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F(如图),
则AF=FD=
AD=
(4-m)
又∵OP=AF,
∴m=
(4−m)
则m=
③若PD=DA,
∵△PMC≌△DMB,
∴PM=
PD=
AD=
(4-m),
∵PC2+CM2=PM2,
∴(2−m)2+1=
(4−m)2,
解得m1=
,m2=2(舍去).
综上所述,当△APD是等腰三角形时,m的值为
或
或
.
(3)点H所经过的路径长为
π
理由是:∵P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),
∴0≤m<2,
当O与P重合时,P点才开始运动,过P、M、B三点的抛物线y=-x2+3x,
此时ME的解析式为y=-x+3,则∠MEO=45°,
又∵OH⊥EM,
∴△OHE为等腰直角三角形,
∴点O、H、B三点共线,
∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧
的长度,
∵∠COH=45°,OM=
,
则弧长=
=
∵∠PMC=∠DMB,
∴Rt△PMC≌Rt△DMB,
∴DB=PC,
∴DB=2-m,AD=4-m,
∴点D的坐标为(2,4-m).

①若AP=AD,则4+m2=(4-m)2,解得m=
3 |
2 |
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F(如图),
则AF=FD=
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵OP=AF,
∴m=
1 |
2 |
则m=
4 |
3 |
③若PD=DA,
∵△PMC≌△DMB,
∴PM=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵PC2+CM2=PM2,
∴(2−m)2+1=
1 |
4 |
解得m1=
2 |
3 |
综上所述,当△APD是等腰三角形时,m的值为
3 |
2 |
4 |
3 |
2 |
3 |
(3)点H所经过的路径长为
| ||
4 |
理由是:∵P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),
∴0≤m<2,
当O与P重合时,P点才开始运动,过P、M、B三点的抛物线y=-x2+3x,
此时ME的解析式为y=-x+3,则∠MEO=45°,
又∵OH⊥EM,
∴△OHE为等腰直角三角形,
∴点O、H、B三点共线,
∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧
![]() |
HMC |
∵∠COH=45°,OM=
5 |
则弧长=
nπr |
180 |
|
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