（2011•湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m

Question

（2011•湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

Answer 1

（1）由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴点D的坐标为（2，4-m）．

（2）分三种情况
①若AP=AD，则4+m²=（4-m）²，解得m＝(3)/(2)；
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF=FD=(1)/(2)AD=(1)/(2)（4-m）
又∵OP=AF，
∴m＝(1)/(2)(4−m)
则m＝(4)/(3)
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=(1)/(2)PD=(1)/(2)AD=(1)/(2)（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴(2−m)2+1＝(1)/(4)(4−m)2，
解得m1＝(2)/(3)，m2＝2（舍去）．
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为(3)/(2)或(4)/(3)或(2)/(3)．

（3）点H所经过的路径长为(√(5))/(4)π
理由是：∵P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），
∴0≤m＜2，
当O与P重合时，P点才开始运动，过P、M、B三点的抛物线y=-x²+3x，
此时ME的解析式为y=-x+3，则∠MEO=45°，
又∵OH⊥EM，
∴△OHE为等腰直角三角形，
∴点O、H、B三点共线，
∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧

HMC

的长度，
∵∠COH=45°，OM=√(5)，
则弧长=(nπr)/(180)=

作业帮用户 2016-12-15

问题解析

（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB=2-m，AD=4-m，从而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解；
（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点时，求解即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议