已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（-m，-m）为AC上的点（m＞0）

Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（-m，-m）为AC上的点（m＞0）
（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；

（3）若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：
（i）∠APQ+∠PBQ的度数和不变；
（ii）∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．

Answer 1

（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ACB=90°，
又△ABC的面积为9，
∴OA=OC=OB=3，
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；

（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．
理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，
∵D（-m，-m），
∴DM=DN=OM=ON=m，
∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，
∴DC=DO，
∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，
∴△PCD≌△BOD （SAS），
∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，
∴∠BDP=∠ODC=90°，
即DP⊥DB．

（3）（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等边三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分线，
∴PA=PB 而PA=AB，
∴PA=PB=AB，
∴∠APB=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
∴△APS≌△BPQ，
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．