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（2006•深圳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；
题目详情
（2006•深圳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为
的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8．
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，
的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
 |
| AE |
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，
| OF |
| PF |
▼优质解答
答案和解析
（1）方法（一）
∵直径AB⊥CD，
∴CO=
CD，
=
，
∵C为
的中点，
∴
=
，
∴
=
，
∴CD=AE，
∴CO=
CD=4，
∴C点的坐标为（0，4）．
方法（二）如图1，连接BG，GM，连接CM，交AE于点N，
∵C为
的中点，M为圆心，
∴AN=
AE=4，
CM⊥AE，
∴∠ANM=∠COM=90°，
在△ANM和△COM中：
∵
，
∴△ANM≌△COM（AAS），
∴CO=AN=4，
∴C点的坐标为（0，4）．
（2）证明：设半径AM=CM=r，则OM=r-2，
由OC2+OM2=MC2得：
42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，（1分）
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°，
∠EAM=∠MAE，
∴△AOG∽△ANM，
∴
＝
，
∵MN=OM=3，
即
＝
，
∴OG=
，（2分）
∵
（1）方法（一）∵直径AB⊥CD，
∴CO=
| 1 |
| 2 |
 |
| AD |
 |
| AC |
∵C为
 |
| AE |
∴
|
| AC |
|
| CE |
∴
|
| AE |
 |
| CD |
∴CD=AE，
∴CO=
| 1 |
| 2 |
∴C点的坐标为（0，4）．
方法（二）如图1，连接BG，GM，连接CM，交AE于点N，
∵C为
|
| AE |
∴AN=
| 1 |
| 2 |
CM⊥AE，
∴∠ANM=∠COM=90°，
在△ANM和△COM中：
∵
|
∴△ANM≌△COM（AAS），
∴CO=AN=4，
∴C点的坐标为（0，4）．
（2）证明：设半径AM=CM=r，则OM=r-2，
由OC2+OM2=MC2得：
42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，（1分）
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°，
∠EAM=∠MAE，
∴△AOG∽△ANM，
∴
| OG |
| MN |
| AO |
| AN |
∵MN=OM=3，
即
| OG |
| 3 |
| 2 |
| 4 |
∴OG=
| 3 |
| 2 |
∵
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