答得好给分将抛物线y=-1/2(x-1)^2+9/2与x轴交于a,b,点c(2,m)在抛物线上,点p在y轴的正半轴上,且△bcp为等腰将抛物线y=-1/2(x-1)^2+9/2与x轴交于a,b,点c(2,m)在抛物线上,点p在y轴的正半轴上,且△bcp为等腰三

Question

答得好给分将抛物线y=-1/2(x-1)^2+9/2与x轴交于a,b,点c(2,m)在抛物线上,点p在y轴的正半轴上,且△bcp为等腰
将抛物线y=-1/2(x-1)^2+9/2与x轴交于a,b,点c(2,m)在抛物线上,点p在y轴的正半轴上,且△bcp为等腰三角形,求p点坐标

Answer 1

抛物线y=-1/2(x-1)^2+9/2
令y=0,解得交点为A(-2,0),B(4,0)
点C在抛物线上,可得 m=-1/2(2-1)^2+9/2=4
∴C点坐标为C(2,4)
设点P坐标为P(0,p),(p>0),则对于△BCP有
BC^2=(2-4)^2+(4-0)^2=20
BP^2=(0-4)^2+(p-0)^2=16+p^2
CP^2=(0-2)^2+(p-4)^2=p^2-8p+20
△BCP为等腰三角形,则
若BC=BP,则20=16+p^2 => p=2
若BC=CP,则20=p^2-8p+20 => p=8
若BP=CP,则16+p^2=p^2-8p+20 => p=1/2
但p=8时,有(8-4)/(0-2)=(4-0)/(2-4),
即B,C,P三点共线,不构成三角形
∴点P的坐标可能为(0,1/2),(0,2)
还有另一种情况,即若A,B位置互换,即B在A的位置
则可得另一组解；此时有
BC^2=(2+2)^2+(4-0)^2=32
BP^2=(0+2)^2+(p-0)^2=4+p^2
CP^2=(0-2)^2+(p-4)^2=p^2-8p+20
△BCP为等腰三角形,则
若BC=BP,则32=4+p^2 => p=2√7
若BC=CP,则32=p^2-8p+20 => p=4+2√7
若BP=CP,则4+p^2=p^2-8p+20 => p=2
但p=2时,有(2-4)/(0-2)=(2-0)/(0+2),
即B,C,P三点共线,不构成三角形
∴此时点P的坐标可能为(0,2√7),(0,4+2√7)