对称矩阵问题设A是反对称矩阵B是对称矩阵证明1.A²是对称矩阵2.AB-BA是对称矩阵3.AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA用什么方法证明呀是不是举例啊

Question

对称矩阵问题
设A是反对称矩阵 B是对称矩阵 证明 1.A²是对称矩阵 2.AB-BA是对称矩阵 3.AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA
用什么方法证明呀 是不是举例啊

Answer 1

若命题正确我,需给出证明
若命题错误,给出反例
关于对称反对称矩阵,需记住:
1.A是对称矩阵的充分必要条件是 A' = A (A'是A的转置)
2.A是反对称矩阵的充分必要条件是 A' = -A.
证明你的题目:
由已知,A' = -A,B' = B.
1.(A^2)' = A'A' = (-A)(-A) = A^2,所以 A^2 是对称矩阵
2.(AB-BA)' = (AB)'-(BA)' = B'A'-A'B' = -BA+AB = AB-BA,所以AB-BA是对称矩阵
3.你题目有误,应该是AB是反对称矩阵.
AB是反对称矩阵(AB)'=-ABB'A'=-AB-BA=-ABAB=BA,即A,B可交换