设级数∞n=1bn收敛，且∞n=1(an-an-1)绝对收敛，证明：级数∞n=1anbn收敛．

Question

设级数

∞

n=1

bn收敛，且

∞

n=1

(an-an-1)绝对收敛，证明：级数

∞

n=1

anbn收敛．

Answer 1

证明：由

∞

n=1

(an-an-1)绝对收敛可知a_n有界，不妨设为|a_n|≤m，
由级数

∞

n=1

bn收敛，根据柯西收敛原理，可知，∀ε>0，∃N，当n>N时，
|

n+p

k=n+1

bk|<(ε)/(1+M)和

n+p

k=n+1

|ak+1-ak|<1(∀p∈N*)
若记Sn+i=

n+i

k=n+1

bk(i=1，2，…，p)
则有，|

n+p

k=n+1

akbk|=|an+1bn+1+an+2bn+2+…+an+pbn+p|
=|S_n+1a_n+1+（S_n+2-S_n+1）a_n+2+…（S_n+p-S_n+p-1）a_n+p|=|S_n+1（a_n+1-a_n+2）+…S_n+p-1（a_n+p-1-a_n+p）+S_n+pa_n+p|
≤|S_n+1||a_n+1-a_n+2|+…+|S_n+p-1||a_n+p-1-a_n+p|+|S_n+p||a_n+p|
≤(ε)/(1+M)(

n+p

k=n+1

|ak+1-ak|+|an+p|)≤(ε)/(1+M)(1+M)=ε(∀p∈N*)
所以

∞

n=1

anbn收敛．