判断级数[(n!*2^n)/n^n]*sin(nπ/3)是否收敛若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛

Question

判断级数[(n!*2^n)/n^n]*sin(nπ/3)是否收敛
若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛

Answer 1

　　对级数
　　　∑[(n!*2^n)/n^n]*sin(nπ/3)，
记
　　　u(n) = [(n!*2^n)/n^n]，
由于
　　　　lim(n→∞)u(n+1)/u(n)
　　　= 2*lim(n→∞)[n/(n+1)]^n
　　　= 2*lim(n→∞)[1/(1+1/n)^n]
　　　= 2/e < 1，
据比值判别法得知正项级数 ∑[(n!*2^n)/n^n] 收敛，而
　　　|[(n!*2^n)/n^n]*sin(nπ/3)| ≤ (n!*2^n)/n^n，
据比较判别法，得知原级数绝对收敛。