判别下列级数的敛散性，并说明理由．如果非正项级数是收敛的，需判别是条件收敛还是绝对收敛．（1）∞n＝1ln(1+1n)；（2）∞n＝1(n2n+1)n；（3）∞n＝1n!5n；（4）∞n＝4(−1)nn(n−3)．

Question

判别下列级数的敛散性，并说明理由．如果非正项级数是收敛的，需判别是条件收敛还是绝对收敛．
（1）

∞

n＝1

ln(1+(1)/(n))；
（2）

∞

n＝1

((n)/(2n+1))n；
（3）

∞

n＝1

(n!)/(5n)；
（4）

∞

n＝4

((−1)n)/(√(n(n−3)))．

Answer 1

（1）因为

lim

n→∞

nln(1+(1)/(n))＝1，
所以利用比较判别法的极限形式可得，
级数

∞

n＝1

ln(1+(1)/(n))发散．
（2）因为

lim

n→∞

n	((n)/(2n+1))n

＝

lim

n→∞

(n)/(2n+1)＝(1)/(2)＜1，
所以利用根值判别法可得，
级数

∞

n＝1

((n)/(2n+1))n收敛．
（3）因为

lim

n→∞

(an+1)/(an)＝

lim

n→∞

(((n+1)!)/(5n+1))/((n!)/(5n))＝

lim

n→∞

(n+1)/(5)＝∞，
由比值判别法可得，
级数

∞

n＝1

(n!)/(5n)发散．
（4）因为(1)/(√(n(n−3)))单调下降收敛于0，
所以级数

∞

n＝4

((−1)n)/(作业帮用户2017-09-17为您推荐：问题解析（1）利用比较判别法的极限形式进行判断即可；（2）利用根值判别法进行证明；（3）利用比值判别法进行证明；（4）结合莱布尼兹判别法以及极限形式的比较判别法进行分析．名师点评本题考点：级数收敛的必要条件；比较判别法的极限形式；比值判别法；根值判别法．考点点评：本题考查了判断级数敛散性的不同方法，包括：比较判别法、根值判别法、比值判别法以及莱布尼兹判别法，具有较强的综合性．级数敛散性的判断是一个重要知识点，需要熟练掌握不同的判别方法并灵活运用．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)