若n属于不包括零的自然数,则[(1+i)^n+(1-i)^n]/[(1+i)^n-(1-i)^n]的不同的值的个数是（）A.2B.3C.4D.5

Question

若n属于不包括零的自然数,则[(1+i)^n+(1-i)^n]/[(1+i)^n-(1-i)^n]的不同的值的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5

Answer 1

1+i= √2∠45°=√2e^(i45°)
(1+i)^n=(√2)^n]e^(i*n45°)
(1-i)^n=(√2)^n]e^(-i*n45°)
x=[(1+i)^n+(1-i)^n]/[(1+i)^n-(1-i)^n]
=[{(√2)^n}e^(i*n45°)+{(√2)^n}e^(-i*n45°)]/[{(√2)^n}e^(i*n45°)-{(√2)^n}e^(-i*n45°)]
分子分母销掉(√2)^n得：
x=[e^(i*n45°)+e^(-i*n45°)]/[e^(i*n45°)-e^(-i*n45°)]
分子分母同乘e^(i*n45°)得：
x=[e^(i*n90°)+1]/[e^(i*n90°)-1] =(1+i^n)/(1-i^n)
=-i,当n=4k+1时；或
=0,当n=4k+2时；或
=i,当n=4k+3时；或
=∞,当n=4k时.
x等于不同的值的个数是（4 ） C.4