一道高中对数函数题已知函数y=log1/2(ax^2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是?已知函数y=log1/2(ax^2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是?为什么答案是0≤a≤1,为什么Δ要大于等于0?ax^2+2x+1只要能

Question

一道高中对数函数题已知函数y=log1/2(ax^2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是?
已知函数y=log1/2(ax^2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是?为什么答案是0≤a≤1,为什么Δ要大于等于0?ax^2+2x+1只要能大于零不就行了嘛?为什么Δ不是小于等于零?

Answer 1

解
函数y=log1/2(ax^2+2x+1)的值域为R
所以ax^2+2x+1恒大与0
令g(x)=ax^2+2x+1
显然函数g(x)=ax^2+2x+1是一个一元二次函数（抛物线）
要使g(x)恒大与0
必须使抛物线开口向上,即a＞0
同时必须使△＞0（保证抛物线始终在x轴上方,且与x轴没有交点,这也是△不能为0的原因）
即4-4a＞0,解得a＜1
因此则实数a的取值范围是0＜a＜1
说明：我的答案是0＜a＜1,而不是0≤a≤1.
问题出在题目中关于函数定义域的理解,题目中没有给出定义域,但我理解应为R
这样,当a=0时,g(x)=2x+1要使g(x)恒大与0,必须使x＞（-1/2）,其定义域就不是R了.
当a=1时,g(x)=x^2+2x+1=（x+1）²要使g(x)恒大与0,必须使x≠-1,其定义域也不是R了.
因此a不能等于0和1
如果理解为定义域不为R,那么a＜0时,也有g(x)＞0的时候,那就更复杂、更难说了!