设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；

Question

设 f(x)=a lo g 2 2 x+b lo g 4 x 2 +1 ，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若 f((1)/(2) )=0 ，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下， g(x)=(f(x)+k-1)/(log2x) 在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=alog ₂ ² x+blog ₂ x+1
由 f((1)/(2) )=0 得a-b+1=0，
∴f（x）=alog ₂ ² x+（a+1）log ₂ x+1
若a=0则f（x）=log ₂ x+1无最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值为0，只能使

a＞0

(4a- (a+1)2)/(4a) =0

，知a=1，b=2．
∴f（x）=log ₂ ² x+2log ₂ x+
设x＜0则-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log ₂ ² （-x）+2log ₂ （-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log ₂ ² （-x）-2log ₂ （-x）-1
又F（0）=0∴ F(-x)=

lo g 2 2 x+2lo g 2 x+ 1     (x＞0)

0 (x=0)

- lo g 2 2 (-x)-2lo g 2 (-x)- 1     (x＜0)

（2） g(x)=(log22 x+2 log2 x+1+k-1)/(log2 x) = lo g 2 x+(k)/(log2 x) +2 ．x∈[2，4]．
得log ₂ x=t．则 y=t+(k)/(t) +2 ，t∈[1，2]．
∴当k≤0，或

k

≤1 或

k

≥2 时，y为单调函数．
综上，k≤1或k≥4．