对于函数f(x),若x,则称x为f(x)的不动点,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的稳定点,函数f(X)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}(1)求证A包含于B(2)设f(x)=x平方+ax+b,若A={-1,3},求集合B

Question

对于函数f(x),若x,则称x为f(x)的不动点,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的稳定点,
函数f(X)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}
(1) 求证A包含于B
(2)设f(x)=x平方+ax+b,若A={-1,3},求集合B

Answer 1

1.证明：
在A中任取元素x0,
A中f（x0）=x0
则B中f（f（x0））=f（x0）=x0
∴A中的任意元素X∈B
∴A包含于B
2.f（x）=x^2+ax+b
由题得f（x）=x的两根为x1=-1,x2=3
∴1-a=2,a=-1
b=-1*3=-3
f（x）=x^2-x-3
∴B中
（x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x
(x^2-x-3)^2-x^2=0
(x^2-x-3+x)(x^2-x-3-x)=0
(x+√3)(x-√3)(x+1)(x-3)=0
∴B={√3,-√3,-1,3}