已知f1,f2分别为双曲线的左右焦点,o为原点,A为右顶点,p为双曲线左支上的任意一点若存在最小值12a,则双曲线离心率e的范围是?

Question

Answer 1

PF1=PF2-2a.OA=a
|PF2|^2 / [|PF1|-|OA|]
=|PF2|^2 / [|PF2|-3a]
=[|PF2|^2-9a^2+9a^2] / [|PF2|-3a]
=|PF2|+3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]}
=|PF2|-3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]} +6a
根据基本不等式,在|PF2|-3a>0时,有|PF2|-3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]} >=6a,
|PF2|-3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]} +6a>=12a.
当且仅当|PF2|-3a = {9a^2 / [|PF2|-3a]},即PF2=6a时能取到=.
当P运动到左顶点时候,PF2取到最小值(PF2)min=a+c,所以必须满足(PF2)min=a+c>3a,
且(PF2)min=a+c0,且能取到PF2=6a.
解得e属于(2,5].
如果这种方法不理解的话,这里还有一种：
|pf2|-|pf1|=2a |oa|=a
原式可理解为|pf2|^2/(pf2-3a)存在最小值12a
将式子倒过来可得到1/pf2-3a/(pf2^2)
令x=1/pf2 (x=1/6a,
解得e=12a>0,
所以
PF1=PF2-2a>a
所以(PF2)min=a+c>3a,
解得e>2
所以e属于(2,5]