1：已知双曲线上的两点P1(3,-4根号2),P2(9/4,5),求双曲线的标准方程；2：双曲线的渐近线方程为y=正负4/3x,且焦点都在圆x^2+y^2=100上,求双曲线的标准方程；3：过双曲线x^2/3-y^2=1的焦点作实轴的垂

Question

1：已知双曲线上的两点P1(3,-4根号2),P2(9/4,5),求双曲线的标准方程；
2：双曲线的渐近线方程为y=正负4/3x,且焦点都在圆x^2+y^2=100上,求双曲线的标准方程；
3：过双曲线x^2/3-y^2=1的焦点作实轴的垂线,分别交渐近线于A,B,C,D四点,则矩形ABCD的面积为多少；
4：求直线y=x-1被双曲线x^2-y^2/2=1截得的线段长.

Answer 1

1.设双曲线方程是y^2/a^2-x^2/b^2=1
两点P1(3,-4√2),P2(9/4,5)在双曲线上
所以32/a^2-9/b^2=1
25/a^2-81/16b^2=1
解得a^2=16,b^2=9
再设x^2/a^2-y^2/b^2=1
照上述方法解得b^2=-1,不符合实际.
所以双曲线的标准方程：y^2/16-x^2/9=1
2.焦点都在圆x^2+y^2=100上
c=10
又双曲线的渐近线方程为y=正负4/3x
所以
（1)当焦点在X轴上时,b/a=4/3
c^2=a^2+b^2
所以b=8,a=6
因此所求方程是x^2/36-y^2/64=1
（2）当焦点在Y轴上时,a/b=4/3
同理得a=8,b=6
因此所求方程是x^2/64-y^2/36=1
3.双曲线焦点是（-2,0）、（2,0)
双曲线通径d即为该矩形的一边,d=2b^2/a=2/√3
所以S矩形ABCD=2c*d=8/√3
4.设直线与双曲线交于A、B两点,
A（x1,x1-1）、B（x2,x2-1)
AB=√2(x1-x2)^2=√2[(x1+x2)^2-4x1*x2]……（1）
y==x-1与x^2-y^2/2=1联立消去y整理得
x^2+2x-3=0
x1*x2=-3,x1+x2=-2
所以AB=√2[(x1+x2)^2-4x1*x2]=√2[(-2)^2+4*3]=4√2