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已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直,双曲线C的一个焦点与点A(1,根号2﹣1)关于直线y=x-1对称,问:是否存在直线y=kx+b与双曲线C交与P,Q,使PQ恰被(2/3,1)平分?
设双曲线Cx^2/a^2-y^2=1,a>0与直线l:x+y=1相交于不同点A,B,问:设直线l与y轴的交点为P,且向量PA=5/12向量PB,求a的值
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直,双曲线C的一个焦点与点A(1,根号2﹣1)关于直线y=x-1对称,问:是否存在直线y=kx+b与双曲线C交与P,Q,使PQ恰被(2/3,1)平分?
设双曲线Cx^2/a^2-y^2=1,a>0与直线l:x+y=1相交于不同点A,B,问:设直线l与y轴的交点为P,且向量PA=5/12向量PB,求a的值
▼优质解答
答案和解析
设双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1,由两条渐近线过坐标原点且互相垂直可得a/b=1,即a=b,
所以双曲线又为x^2/a^2-y^2/a^2=1
因为双曲线的右焦点和A点关于直线y=x-1对称,故,右焦点和A点的中点((1+c)/2,(根号2-1)/2)在直线y=x-1上,就有
( 根号2-1)/2=(1+c)/2-1,即c=根号2
而c^2=a^2+b^2=2a^2,可得a^2=1,所以双曲线为x^2-y^2=1
联立双曲线和直线y=kx+b,即有(1-k^2)x^2-2kx-b^2-1=0,而两者有两个交点的条件是
(-2k)^2-4(1-k^2)*(-b^2-1)>0,即b^2-(b^2)*(k^2)+1>0且k^2不等于1
设点P(x1,y1)Q(x2,y2),有x1+x2=(2k)/(1-k^2),x1*x2=(-b^2-1)/(1-k^2);
点P和点Q的中点为(2/3,1),即有x1+x2=(2k)/(1-k^2)=2*(2/3),解出k=-2或k=1/2
而Q(2/3,1)在直线PQ上,故y=-2x+7/3或y=(1/2)x+2/3
设点A(x1,y1),点B(x2,y2),联立双曲线和直线可得(1/a^2-1)x^2+2x-2=0
存在两个交点的条件是2^2-4(1/a^2-1)(-2)>0,即a属于(0,1)并上(1,2)
x1+x2=2a^2/(a^2-1)……(1)
由向量PA=5/12向量PB可得(x1,y1-1)=(5/12)(x2,y2-1),即有12x1=5x2……(2) 你看看题目是不是超错了!
所以双曲线又为x^2/a^2-y^2/a^2=1
因为双曲线的右焦点和A点关于直线y=x-1对称,故,右焦点和A点的中点((1+c)/2,(根号2-1)/2)在直线y=x-1上,就有
( 根号2-1)/2=(1+c)/2-1,即c=根号2
而c^2=a^2+b^2=2a^2,可得a^2=1,所以双曲线为x^2-y^2=1
联立双曲线和直线y=kx+b,即有(1-k^2)x^2-2kx-b^2-1=0,而两者有两个交点的条件是
(-2k)^2-4(1-k^2)*(-b^2-1)>0,即b^2-(b^2)*(k^2)+1>0且k^2不等于1
设点P(x1,y1)Q(x2,y2),有x1+x2=(2k)/(1-k^2),x1*x2=(-b^2-1)/(1-k^2);
点P和点Q的中点为(2/3,1),即有x1+x2=(2k)/(1-k^2)=2*(2/3),解出k=-2或k=1/2
而Q(2/3,1)在直线PQ上,故y=-2x+7/3或y=(1/2)x+2/3
设点A(x1,y1),点B(x2,y2),联立双曲线和直线可得(1/a^2-1)x^2+2x-2=0
存在两个交点的条件是2^2-4(1/a^2-1)(-2)>0,即a属于(0,1)并上(1,2)
x1+x2=2a^2/(a^2-1)……(1)
由向量PA=5/12向量PB可得(x1,y1-1)=(5/12)(x2,y2-1),即有12x1=5x2……(2) 你看看题目是不是超错了!
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