（2014•咸阳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b≥1)过点P（2，1），且离心率e=32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线的l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PA

Question

（2014•咸阳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b≥1)过点P（2，1），且离心率e=(√(3))/(2)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线的l的斜率为(1)/(2)，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．

Answer 1

（I）∵e2＝(c2)/(a2)＝(a2−b2)/(a2)＝(3)/(4)，
∴a²=4b²，①
又椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b≥1)过点P（2，1），
∴(4)/(a2)+(1)/(b2)＝1，②
联立①②解得，a²=8，b²=2．
故所求椭圆方程为(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1；
（II）设l的方程为y=(1)/(2)x+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y＝kx+m

(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1

，整理得x²+2mx+2m²-4=0．
∴x1+x2＝−2m，x1x2＝2m2−4．
则|AB|＝

作业帮用户 2017-11-08 举报

问题解析

（Ⅰ）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再由椭圆过定点P得另一关系式，联立后求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式后利用基本不等式求最值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议

√(1+(1)/(4))