（2014•防城港二模）设Sn为数列{an}的前n项和，已知2an−1＝Sn，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

Question

（2014•防城港二模）设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知2an−1＝Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵2an−1＝Sn，n∈N*，
∴当n=1时，2a₁-1=a₁，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为a₁=1，公比为q=2的等比数列，
∴an＝2n−1，n∈N^*．
（Ⅱ）∵an＝2n−1，
∴na_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2T_n=1•2+2•2²+3•3³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=(1×(1−2n))/(1−2)-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴Tn＝(n−1)•2n+1．