设数列an满足a1=2,a(m+n)+a(m-n)-m+n=1/2(a2m+a2n)..设数列an满足a1=2,a(m+n)+a(m-n)-m+n=1/2(a2m+a2n).其中m,n属于N,M大于或等于n.（1）证：对一切n属于N,有a（n+2）=2a（n+1）-a（n）+2（2）证：1/a1+1/a2+1/a3+.+1/a2010小

Question

设数列an满足a1=2,a(m+n)+a(m-n)-m+n=1/2(a2m+a2n)..
设数列an满足a1=2,a(m+n)+a(m-n)-m+n=1/2(a2m+a2n).其中m,n属于N,M大于或等于n.
（1）证：对一切n属于N,有a（n+2）=2a（n+1）-a（n）+2
（2）证：1/a1+1/a2+1/a3+.+1/a2010小于1

Answer 1

1）,由题a1=2,a(m+n)+a(m-n)-m+n=(a2m+a2n)/2,令m=0,n=0,代入求得a0=0,令m=1,n=0,代入求得a2=6；令n=1,代入得,a(m+1)+a(m-1)-m+1=(a2m+a2)/2,记为(1)式,其中m >=n=1.考虑到我们需要求出a2m,则继续在题目给出的式中,令n=0,有am+am-m=(a2m+a0)/2,又a0=0,所以得到a2m=4am-2m,记为（2）式,将（2）式以及a2=6代入（1）式中化简得到a(m+1)=2am-a(m-1)+2其中m >=1,设m=n+1代入上式有a（n+2）=2a（n+1）-a（n）+2其中n>=0 （2）,由a（n+2）=2a（n+1）-a（n）+2,变形即为[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2,令bn=a(n+1)-an,则有b(n+1)-bn=2,；对该式令n=1,2……（n-1）,将得到的各式相加即有bn-b1=2（n-1）,又b1=a2-a1=4,所以bn=2(n+1),即 a(n+1)-an=2(n+1),对该式令n=0,1,2……（n-1）,并将得到的各式相加即有an-a0=2(1+2+3+……+n)=n(n+1),又a0=0,所以an=n(n+1),所以1/an=1/n-1/(n+1),令n=1,2……2010,并将得到的各式相加即有1/a1+1/a2+1/a3+.+1/a2010=1-1/2011