（2014•泰安一模）已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；（Ⅲ）令g（x）=f(x)+2x-f′（x），

Question

（2014•泰安一模）已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；
（Ⅲ）令g（x）=(f(x)+2)/(x)-f′（x），若x≥1时，有不等式g（x）≥(k)/(x+1)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+(1)/(x)，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′（x）=m+(1)/(x)，x∈（0，e]，
①若m≥0，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）_max=f（e）=me+1≥0，不合题意．
②若m＜0，则由f′（x）＞0，即0＜x＜−(1)/(m)
由f′（x）＜0，即−(1)/(m)＜x≤e．
从而f（x）在（0，−(1)/(m)）上增函数，在（-(1)/(m)，e]为减函数，
∴f（x）_max=f（−(1)/(m)）=-1+ln（−(1)/(m)）
令-1+ln（−(1)/(m)）=-3，
∴m=e^-2，
∵-e²＜−(1)/(e)，
∴m=-e²为所求．
（Ⅲ）∵g（x）=(f(x)+2)/(x)-f′（x），f′（x）=m+(1)/(x)，f（x）=lnx+mx，
∴g（x）=(lnx)/(x)-(1)/(x)，
若x≥1时，有不等式g（x）≥(k)/(x+1)恒成立，
∴k≤g（x）（x+1）=lnx+(lnx)/(x)+(1)/(x)+1，
令h（x）=（x）（x+1）=lnx+(lnx)/(x)+(1)/(x)+1，
∴h′（x）=(x−lnx)/(x2)＞恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）_min=h（1）=2，
∴k≤2．