（2014•郴州三模）设函数f（x）=sinx-cosx+1．（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：n+1k＝1sinkπ2n+1≥32(n+1)4(2n+1)．

Question

（2014•郴州三模）设函数f（x）=sinx-cosx+1．
（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：

n+1

k＝1

sin(kπ)/(2n+1)≥(3√(2)(n+1))/(4(2n+1))．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx-cosx+1．
设函数F（x）=sinx-cosx+1-ax，
∴F′（x）=cosx+sinx-a
∵f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，
∴函数F（x）=sinx-cosx+1-ax≥F（0）=0，
∴只需F′（x）=cosx+sinx-a≥0恒成立，
即：a≤（sinx+cosx）_min，
∵sinx+cosx=√(2)sin（x+(π)/(4)），
∴sinx+cosx的最小值为-√(2)．
∴a≤-√(2)．
∴a的取值范围（-∞．-√(2)]；
（Ⅱ）（用数学归纳法证明）
当n=1时，sin(π)/(3)=(√(3))/(2)＞(√(2))/(2)，成立，
假设当n=m，m∈N^•时成立，即
sin(π)/(3)+sin(2π)/(5)+sin(3π)/(7)+…+sin(mπ)/(2m+1)≥