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(2014•郴州三模)设函数f(x)=sinx-cosx+1.(Ⅰ)若f(x)≥ax在[0,π]上恒成立,求a的取值范围;(Ⅱ)求证:n+1k=1sinkπ2n+1≥32(n+1)4(2n+1).
题目详情
(2014•郴州三模)设函数f(x)=sinx-cosx+1.
(Ⅰ)若f(x)≥ax在[0,π]上恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)求证:
sin
≥
.
(Ⅰ)若f(x)≥ax在[0,π]上恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)求证:
n+1 |
![]() |
k=1 |
kπ |
2n+1 |
3
| ||
4(2n+1) |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵函数f(x)=sinx-cosx+1.
设函数F(x)=sinx-cosx+1-ax,
∴F′(x)=cosx+sinx-a
∵f(x)≥ax在[0,π]上恒成立,
∴函数F(x)=sinx-cosx+1-ax≥F(0)=0,
∴只需F′(x)=cosx+sinx-a≥0恒成立,
即:a≤(sinx+cosx)min,
∵sinx+cosx=
sin(x+
),
∴sinx+cosx的最小值为-
.
∴a≤-
.
∴a的取值范围(-∞.-
];
(Ⅱ)(用数学归纳法证明)
当n=1时,sin
=
>
,成立,
假设当n=m,m∈N•时成立,即
sin
+sin
+sin
+…+sin
≥
设函数F(x)=sinx-cosx+1-ax,
∴F′(x)=cosx+sinx-a
∵f(x)≥ax在[0,π]上恒成立,
∴函数F(x)=sinx-cosx+1-ax≥F(0)=0,
∴只需F′(x)=cosx+sinx-a≥0恒成立,
即:a≤(sinx+cosx)min,
∵sinx+cosx=
2 |
π |
4 |
∴sinx+cosx的最小值为-
2 |
∴a≤-
2 |
∴a的取值范围(-∞.-
2 |
(Ⅱ)(用数学归纳法证明)
当n=1时,sin
π |
3 |
| ||
2 |
| ||
2 |
假设当n=m,m∈N•时成立,即
sin
π |
3 |
2π |
5 |
3π |
7 |
mπ |
2m+1 |
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