设函数f（x）=ax-x2，其中a＞0，集合I={x|f（x）-a2x2＞0}（1）求y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；（2）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值（注：区间（α，β）的长度定义为β

Question

设函数f（x）=ax-x²，其中a＞0，集合I={x|f（x）-a²x²＞0}
（1）求y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（2）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）．

Answer 1

（1）函数f（x）=ax-x²的对称轴为x=(a)/(2)，开口向下；
则f（x）_max=

a−1，a＜2

(a2)/(4)，2≤a≤4

2a−4，a＞4

，
（2）由题意，I={x|f（x）-a²x²＞0}=（0，(a)/(1+a2)），
则设l（a）=(a)/(1+a2)=(1)/(a+(1)/(a))，
其在（1-k，1）上单调递增，（1，1+k）上单调递减，
l（a）_min=min{l（1-k），l（1+k）}；
l（1-k）-l（1+k）=(1−k)/(1+(1−k)2)-(1+k)/(1+(1+k)2)
=(−2k3)/([1+(1−k)2][1+(1+k)2])＜0，
∴l（a）_min=min{l（1-k），l（1+k）}
=l（1-k）=(1−k)/(1+(1−k)2)．