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(2010•江门一模)如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的正(主)视图如图(2).(1)求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)证明:A1B∥平面ADC1;(3)图(1

题目详情
(2010•江门一模)如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的正(主)视图如图(2).

(1)求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)证明:A1B∥平面ADC1
(3)图(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)依题意,在正三棱柱中,AD=
3

AA1=3,从而AB=2,AA1⊥平面ABC,
所以正三棱柱的体积V=Sh=
1
2
×AB×AD×AA1=
1
2
×2×
3
×3=3
3

(2)连接A1C,设A1C∩AC1=E,
连接DE,因为AA1C1C是正三棱柱的侧面,
所以AA1C1C是矩形,E是A1C的中点,
所以DE是△A1BC的中位线,DE∥A1B,
因为DE⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1
所以A1B∥平面ADC1
(3)AD垂直平面BCC1B1,AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D
所以垂直于平面BCC1B1的平面有:平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D.