已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影．求证：（1）O为△ABC的垂心；（2）O在△ABC内；（3）设SO=h，则1a2+1b2+1c2=1h2．

Question

已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影．
求证：（1）O为△ABC的垂心；
（2）O在△ABC内；
（3）设SO=h，则(1)/(a2)+(1)/(b2)+(1)/(c2)=(1)/(h2)．

Answer 1

证明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC⊂平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=√(a2+b2)为最大，从而∠ACB为最大角．
用余弦定理求得cos∠ACB=(2c2)/(2√(b2+c2)√(a2+c2))＞0，
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=(bc)/(√(b2+c2))，(1)/(SD2)=(1)/(b2)+(1)/(c2)，又SA•SD=AD•SO，
∴(1)/(SO2)=(AD2)/(a2•SD2)=(a2+SD2)/(a2•SD2)=(1)/(a2)+(1)/(SD作业帮用户2016-12-06问题解析（1）只需证明O在△ABC的三条高线上，即可证明O为△ABC的垂心；（2）只需证明△ABC是锐角三角形，即可证明O在△ABC内；（3）设SO=h，利用等面积法：SB•SC=BC•SD、SA•SD=AD•SO，推得关系化简为(1)/(a2)+(1)/(b2)+(1)/(c2)=(1)/(h2)．名师点评本题考点：棱锥的结构特征；余弦定理的应用．考点点评：本题考查棱锥的结构特征，余弦定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)