（2014•咸阳三模）已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱上CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．（1）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；（2）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求三棱

Question

（2014•咸阳三模）已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱上CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
（1）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC′⊥平面ABCD，∴BD⊥CC′，（3分）
又CC′∩AC=C，∴BD⊥平面ACC′A′，
∵BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC′A′．（6分）
（2）∵V_P-BDE=V_B-PDE，
由ABCD-A′B′C′D′是长方体，∴BC⊥平面CC′D′D，
即三棱锥B-PDE的高BC=2，
底面三角形△PBE面积
S_△PBE=SCC′D′D-S△DCE−S△EC′P−S△PD′D
=1×2−(1)/(2)×1×1−(1)/(2)×2×(1)/(2)−(1)/(2)×1×(1)/(2)=(3)/(4)，
∴V_P-BDE=V_B-PDE=(1)/(3)×2×(3)/(4)＝(1)/(2)．（12分）