如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．（3）若E为CC1中点，且BA=BC

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直线A₁F∥平面ADE．
（3）若E为CC₁中点，且BA=BC=B B₁，求二面角E-AD-C．

Answer 1

（1）证明：因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC．
又AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD． 
又因为AD⊥DE，CC₁，DE⊂平面BCC₁B₁，CC₁∩DE=E，
所以AD⊥平面BCC₁B₁．
又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁．
（2）证明：因为A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，所以A₁F⊥B₁C₁．
因为CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F⊂平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁F，
又因为CC₁，B₁C₁⊂平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁F⊥平面BCC₁B₁．
由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD．
又AD⊂平面ADE，A₁F⊄平面ADE，所以A₁F∥平面ADE；
（3）∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴∠EDC就是二面角E-AD-C的平面角．
∵BC=BB₁，E为CC₁中点，D为CB中点，
∴DC=EC，∴∠EDC=45°，
∴二面角E-AD-C的平面角是45°．