（2014•珠海二模）已知抛物线C：x2=y，直线l与抛物线C交于A、B不同两点，且OA+OB=（p，6）．（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点

Question

（2014•珠海二模）已知抛物线C：x²=y，直线l与抛物线C交于A、B不同两点，且

OA

+

OB

=（p，6）．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
（3）记点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，记曲线E是以A₁B₁为直径的圆，当直线l与曲线E的相离时，求p的取值范围．

Answer 1

（1）抛物线C：x²=y的焦点坐标为（0，(1)/(4)），准线方程为y=-(1)/(4)；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵

OA

+

OB

=（p，6），
∴x₁+x₂=p，x₁²+x₂²=6，
∴AB中点坐标为（(p)/(2)，3），
∴k_l=x₁+x₂=p，
∴p≠0时，直线m的斜率为-(1)/(p)，
直线m的方程为y-3=-(1)/(p)（x-(p)/(2)），即y=-(1)/(p)x+(7)/(2)，
令x=0，则y=(7)/(2)；
p=0时，直线m的方程为x=0，也过（0，(7)/(2)），
∴直线m恒过（0，(7)/(2)）；
（3）设AB：y-3=p（x-(p)/(2)），即y=px+3-(p2)/(2)，
与抛物线方程联立，可得x2−px+(p2)/(2)−3＝0，
∴△＞0，可得p²＜12，
则x₁+x₂=p，x₁x₂=(p2)/(2)−3，
∴|A₁B₁|=|x₁-x₂|=√(12−p2)，
∴以A₁B₁为直径的圆的方程为

作业帮用户 2016-12-08 举报