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(2013•海口二模)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别是A′,B′,若四边形AA′B′B的面积为48,则抛物线的方
题目详情
(2013•海口二模)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别是A′,B′,若四边形AA′B′B的面积为48,则抛物线的方程为
y2=2
x
3 |
y2=2
x
.3 |
▼优质解答
答案和解析
由题意,设直线方程为y=
(x−
),代入y2=2px,
整理可得x2−7px+
=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=7p,x1x2=
∴|x1-x2|=
=4
p
∴|AB|=
|x1-x2|=8p
∵四边形AA′B′B的面积为48,
∴
×
=48
∴
=48
∴p=
∴抛物线的方程为y2=2
| ||
3 |
p |
2 |
整理可得x2−7px+
p2 |
4 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=7p,x1x2=
p2 |
4 |
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2−4x1x2 |
3 |
∴|AB|=
2
| ||
3 |
∵四边形AA′B′B的面积为48,
∴
|AA′|+|BB′| |
2 |
|AB| |
2 |
∴
64p2 |
4 |
∴p=
3 |
∴抛物线的方程为y2=2
|
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