（2013•海口二模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方

Question

（2013•海口二模）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为

y2＝2√(3)x

y2＝2√(3)x

．

Answer 1

由题意，设直线方程为y＝(√(3))/(3)(x−(p)/(2))，代入y²=2px，
整理可得x2−7px+(p2)/(4)＝0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=7p，x₁x₂=(p2)/(4)
∴|x₁-x₂|=√((x1+x2)2−4x1x2)=4√(3)p
∴|AB|=(2√(3))/(3)|x₁-x₂|=8p
∵四边形AA′B′B的面积为48，
∴(|AA′|+|BB′|)/(2)×(|AB|)/(2)=48
∴(64p2)/(4)＝48
∴p=√(3)
∴抛物线的方程为y2＝2

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