（2014•房山区二模）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一

Question

（2014•房山区二模）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是______三角形；
（2）如图，△OAB是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．

Answer 1

（1）∵O、B是抛物线与x轴的两个交点，A是抛物线的顶点，
∴AO=AB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴“抛物线三角形”一定是等腰三角形；

（2）∵以原点O为对称中心的四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
令y=0，则-x²+bx=0，
解得x₁=0，x₂=b，
∴OB=b，
∵AE⊥OB，
∴OE=(b)/(2)，AE=(√(3))/(2)b，
∴点A的坐标为（(b)/(2)，(√(3))/(2)b），
代入抛物线得，-（(b)/(2)）²+b×(b)/(2)=(√(3))/(2)b，
解得b=2√(3)，
∴点A（√(3)，3），
∵C、D分别为A、B关于原点的对称点，
∴C（-√(3)，-3），D（-2√(3)，0），
设过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=ax²+bx，
则

3a−√(3)b＝−3

12a−2√(3)b＝0

，
解得

a＝1

b＝2√(3)

，
所以，过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=x²+2√(3)x；

（3）由（2）可知，∵△AOB是等边三角形，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
又∵DE=OE+OD=(2√(3))/(2)+2√(3)=3√(3)，
∴点E到AD的距离=DE•sin30°=3√(3)×(1)/(2)=(3√(3))/(2)，
∴当r=(3√(3))/(2)或3＜r≤3√(3)时，以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点．