在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y=a（x-m）2+a（x-m）与y=a（x-m）2-a（x-m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式与；（2）判断二

Question

在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y=a（x-m）²+a（x-m）与y=a（x-m）²-a（x-m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．

（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式___与___；
（2）判断二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出a与m的值；如果不是，请说明理由；
（3）若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x=2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．

Answer 1

（1）抛物线y=2（x-3）²+2（x-3）与y=2（x-3）²-2（x-3）是兄弟抛物线；
故答案为y=2（x-3）²+2（x-3），y=2（x-3）²-2（x-3）；
（2）二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是兄弟抛物线，理由如下：
∵y=x²-x=（x-1）²+（x-1），
y=x²-3x+2=（x-1）²-（x-1），
∴二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是兄弟抛物线．此时a=1，m=1．
（3）设对称轴为直线x=2且开口向上的抛物线解析式为y=2（x-2）²+k（k<0），如图，
∵△PAB为直角三角形，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴AB=-2k，
∴B（2-k，0），
把B（2-k，0）代入y=2（x-2）²+k得2k²+k=0，解得k₁=0（舍去），k₂=-(1)/(2)，
∴A（(3)/(2)，0），B（(5)/(2)，0），
∴抛物线解析式为y=2（x-(3)/(2)）（x-(5)/(2)），
当y=2（x-(3)/(2)）（x-(3)/(2)-1），则与y=2（x-(3)/(2)）（x-(3)/(2)-1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y=2（x-(3)/(2)）（x-(3)/(2)+1）=2（x-(3)/(2)）（x-(1)/(2)），即y=2（x-(3)/(2)）（x-(5)/(2)）与y=2（x-(3)/(2)）（x-(1)/(2)）为兄弟抛物线；
当y=2（x-(5)/(2)）（x-(5)/(2)+1），则与y=2（x-(5)/(2)）（x-(5)/(2)+1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y=2（x-(5)/(2)）（x-(5)/(2)-1）=2（x-(5)/(2)）（x-(7)/(2)），即y=2（x-(3)/(2)）（x-(5)/(2)）与y=2（x-

作业帮用户 2017-04-11

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