已知不等式x2+mx＞4x+m-4．（1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Question

已知不等式x²+mx＞4x+m-4．
（1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）x²+mx＞4x+m-4，可整理为（x-1）m+x²-4x+4＞0，
∵对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，
∴有

(x−1)×0+x2−4x+4＞0

(x−1)×4+x2−4x+4＞0

，即

x2−4x+4＞0

x2＞0

，解得x≠0，且x≠2，
∴实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）；
（2）x²+mx＞4x+m-4可化为x²+（m-4）x-m+4＞0，
令f（x）=x²+（m-4）x-m+4，
由对x≤1的所有实数x，不等式恒成立，得
当-(m−4)/(2)≥1，即m≤2时，有f（x）_min=f（1）=1+m-4-m+4＞0，解得m∈R，∴m≤2；
当-(m−4)/(2)＜1，即m＞2时，有f（x）_min=f（-(m−4)/(2)）=-((m−4)2)/(4)-m+4＞0，解得0＜m＜4，∴2＜m＜4；
综上，m＜4，即所求实数m的取值范围是：m＜4．