设对任意实数x,y有[f(x)+f(y)]/2=0,f(0)=c,证明f(x)恒为c设对任意实数x,y有[f(x)+f(y)]/2=0,f(0)=c,证明f(x)恒为c

Question

设对任意实数x,y 有[f(x)+f(y)]/2=0,f(0)=c,证明f(x)恒为c
设对任意实数x,y 有[f(x)+f(y)]/2=0,f(0)=c,证明f(x)恒为c

Answer 1

用反证法,假设存在x0使f(x0)≠c
当0≤f(x0)令a[n]=f(2^n·x0),在原恒等式中取x为0,y为2^n·x0,得(c+a[n])/2≤a[n-1],∴a[n]≤2a[n-1]-c
下用数学归纳法证明a[n]≤(a[0]-c)2^n+c
当n=1时显然成立
假设当n=k时成立,即a[k]≤(a[0]-c)2^k+c,那么当n=k+1时a[n]=a[k+1]≤2a[k]-c≤2((a[0]-c)2^k+c)-c=(a[0]-c)2^(k+1)+c=(a[0]-c)2^n+c,即n=k+1时也成立
注意到a[n]=f(2^n·x0)≥0,∴对任意n∈N,(a[0]-c)2^n+c=(f(x0)-c)2^n+c≥0,即2^n≤c/(c-f(x0))
但当n>log[2](c/(c-f(x0))时2^n＞c/(c-f(x0)),矛盾!
当f(x0)>c时,在原不等式中令x=-x0,y=x0,得[f(-x0)+f(x0)]/2≤c,∴f(-x0)≤2c-f(x0)∴假设不成立,即f(x)恒为c