数列{an}中，a1=4，前n项和Sn满足：Sn=an+1+n．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）令bn=2n−1+1nan，数列{bn2}的前n项和为Tn．求证：∀n∈N*，Tn＜54．

Question

数列{a_n}中，a₁=4，前n项和S_n满足：S_n=a_n+1+n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令b_n=(2n−1+1)/(nan)，数列{b_n²}的前n项和为T_n．求证：∀n∈N^*，T_n＜(5)/(4)．

Answer 1

（Ⅰ）数列{an}中，∵a1=4，前n项和Sn满足：Sn=an+1+n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an+1+n-an-（n-1），∴an+1=2an-1，an+1-1=2（an-1），（n≥2），（4分）又∵a1=S1=a2+1，a1=4，解得a2=3，∴an-1=（a2-1）•2n-2=2n-...